?

Log in

No account? Create an account
Ничего страшного, все в порядке!
 
[Most Recent Entries] [Calendar View] [Friends View]

Thursday, October 13th, 2005

Time Event
3:26p
Решение задач про ряд и сравнение дробей.
Позвали меня в одно хорошее место, помочь задачи по математике у детей устно принимать. Раздали школьникам листки с условиями, а принимающим с решениями. Одна из задач выглядела так:



Посмотрел я на текст решения внимательно, и воскликнул: "Липа! Эта сумма не может быть равна 31/120 !!"

Задача1: Как это доказать без вычислений?


Потом, между подходами к школьникам, раздумывал -- как бы проверить и второе утверждение, про громоздкое число ? Скорее всего, автор текста написал программу, но фраза "оставшиеся разбиваются на пары" наводит на мысль, где у него могла быть ошибка. Но даже калькулятора не было, только карандаш и бумага. И нашел-таки способ, как можно с небольшими вычислениями (несопоставимыми с реальным нахождением суммы этих чисел) доказать, что и второе число -- липа.

Задача2: Как не вычисляя левую часть, доказать, что она не равна громоздкой дроби.


Решение:

1) Знаменатель третьей дроби, 42, делится на 7. Остальные знаменатели в левой и правой части на 7 не делятся. Так быть не может. Ибо пусть x есть наименьшее общее кратное чисел 6, 20, 42, 72 и 120. Умножим левую и правую часть часть равенства на число x/7 (это будет целое число). Дробь 1/42 останется числом нецелым, а остальные дроби в левой и правой части превратятся в целые числа.

2) Дробей в левой части 99, и фраза автора текста "оставшиеся разбиваются на пары" дает возможность предположить, что его программа посчитала четное число слагаемых, т.е. не посчитала нужную 1/100, либо посчитала лишнее число 1/101. Как проверить эти гипотезы?

Если программа не посчитала 1/100, то знаменатель суммы оставшихся 98 слагаемых не будет делиться на 25 (а если сумма посчитана верно, то не будет), т.к.




30 не делится на 25, а 300 делится. Знаменатель громозкой дроби кончается на 00, т.е. делится на 25. Трюк не вышел.



Если же программа посчитала лишнее число 1/101, то знаменатель суммы этих 100 слагаемых будет делиться на 101 (а если сумма посчитано верно, 99 слагаемых, то не будет).

В далеком 1990 году Митя Фалькович рассказывал мне, как конструировать признаки делимости. Один из признаков, делимость на 101, показался мне тогда красивым, но явно бессмысленным. Прошло 26 лет, и пригодился! Я давно забыл этот признак, но понимал, как вывести заново. С пятой попытки восстановил, что же надо делать: остаток от деления числа 101 равен остатку от деления на 101 знакопеременной суммы его "двузначных цифр", т.е. участков цифр, взятых по 2, считая с конца (подумайте, почему!). Например, число 142857 на 101 не делится (дает остаток 43), т.к. 57 - 28 + 14 = 43.

Возьмем знаменатель, 7041757898200960193617914702466542659236800. Знакопеременная сумма его "двузначных цифр" есть

00 - 68 + 23 - 59 + 26 - 54 + 66 - 24 + 70 - 14 + 79 - 61 + 93 - 01 + 96 + 00 + 82 - 89 + 57 - 17 + 04 - 7

Представьте себе мою радость, когда сумма оказалась 202 !

Когда у меня в руках появляется новый инструмент, с восторгом неофита начинаю им пользоваться где надо, и где не очень. Восстановленный признак делимости на 101 не стал исключением: для полной уверенности решил проверить числитель (вдруг в программе такая хитрая ошибка, что дробь сократима на 101). Но нет, числитель при делении на 101 дает остаток 64.

83 - 56 + 29 - 45 + 76 - 27 + 25 - 05 + 38 - 41 + 70 - 68 + 37 - 32 + 51 - 91 + 39 - 64 + 95 - 60 + 12 - 2 = 64

Теперь уже вполне строго, этим заканчивается доказательство, что громоздкая дробь не может быть равна левой части условия. Если мы умножим левую и правую часть равенства на наименьшее общее кратное всех чисел от 2 до 100, то в левой части все слагаемые станут натуральными, а в правой останется знаменатель 101 (или больше).

Надеюсь еще через 26 лет встретить другую задачу, где этот признак пригодится!

И чтоб два раза не вставать. Исходную задачу (сравнение с 1/4) можно решить с помощью тождества, выведенного на основе идей Хайдара Н. и анонимного комментатора:



Ниже еще одно тождество, оно реализует идею rus4:



Current Mood: excited

<< Previous Day 2005/10/13
[Calendar]
Next Day >>
About LiveJournal.com