Gaz-v-pol (gaz_v_pol) wrote,
Gaz-v-pol
gaz_v_pol

Category:
  • Mood:

Решение задач про ряд и сравнение дробей.

Позвали меня в одно хорошее место, помочь задачи по математике у детей устно принимать. Раздали школьникам листки с условиями, а принимающим с решениями. Одна из задач выглядела так:



Посмотрел я на текст решения внимательно, и воскликнул: "Липа! Эта сумма не может быть равна 31/120 !!"

Задача1: Как это доказать без вычислений?


Потом, между подходами к школьникам, раздумывал -- как бы проверить и второе утверждение, про громоздкое число ? Скорее всего, автор текста написал программу, но фраза "оставшиеся разбиваются на пары" наводит на мысль, где у него могла быть ошибка. Но даже калькулятора не было, только карандаш и бумага. И нашел-таки способ, как можно с небольшими вычислениями (несопоставимыми с реальным нахождением суммы этих чисел) доказать, что и второе число -- липа.

Задача2: Как не вычисляя левую часть, доказать, что она не равна громоздкой дроби.


Решение:

1) Знаменатель третьей дроби, 42, делится на 7. Остальные знаменатели в левой и правой части на 7 не делятся. Так быть не может. Ибо пусть x есть наименьшее общее кратное чисел 6, 20, 42, 72 и 120. Умножим левую и правую часть часть равенства на число x/7 (это будет целое число). Дробь 1/42 останется числом нецелым, а остальные дроби в левой и правой части превратятся в целые числа.

2) Дробей в левой части 99, и фраза автора текста "оставшиеся разбиваются на пары" дает возможность предположить, что его программа посчитала четное число слагаемых, т.е. не посчитала нужную 1/100, либо посчитала лишнее число 1/101. Как проверить эти гипотезы?

Если программа не посчитала 1/100, то знаменатель суммы оставшихся 98 слагаемых не будет делиться на 25 (а если сумма посчитана верно, то не будет), т.к.




30 не делится на 25, а 300 делится. Знаменатель громозкой дроби кончается на 00, т.е. делится на 25. Трюк не вышел.



Если же программа посчитала лишнее число 1/101, то знаменатель суммы этих 100 слагаемых будет делиться на 101 (а если сумма посчитано верно, 99 слагаемых, то не будет).

В далеком 1990 году Митя Фалькович рассказывал мне, как конструировать признаки делимости. Один из признаков, делимость на 101, показался мне тогда красивым, но явно бессмысленным. Прошло 26 лет, и пригодился! Я давно забыл этот признак, но понимал, как вывести заново. С пятой попытки восстановил, что же надо делать: остаток от деления числа 101 равен остатку от деления на 101 знакопеременной суммы его "двузначных цифр", т.е. участков цифр, взятых по 2, считая с конца (подумайте, почему!). Например, число 142857 на 101 не делится (дает остаток 43), т.к. 57 - 28 + 14 = 43.

Возьмем знаменатель, 7041757898200960193617914702466542659236800. Знакопеременная сумма его "двузначных цифр" есть

00 - 68 + 23 - 59 + 26 - 54 + 66 - 24 + 70 - 14 + 79 - 61 + 93 - 01 + 96 + 00 + 82 - 89 + 57 - 17 + 04 - 7

Представьте себе мою радость, когда сумма оказалась 202 !

Когда у меня в руках появляется новый инструмент, с восторгом неофита начинаю им пользоваться где надо, и где не очень. Восстановленный признак делимости на 101 не стал исключением: для полной уверенности решил проверить числитель (вдруг в программе такая хитрая ошибка, что дробь сократима на 101). Но нет, числитель при делении на 101 дает остаток 64.

83 - 56 + 29 - 45 + 76 - 27 + 25 - 05 + 38 - 41 + 70 - 68 + 37 - 32 + 51 - 91 + 39 - 64 + 95 - 60 + 12 - 2 = 64

Теперь уже вполне строго, этим заканчивается доказательство, что громоздкая дробь не может быть равна левой части условия. Если мы умножим левую и правую часть равенства на наименьшее общее кратное всех чисел от 2 до 100, то в левой части все слагаемые станут натуральными, а в правой останется знаменатель 101 (или больше).

Надеюсь еще через 26 лет встретить другую задачу, где этот признак пригодится!

И чтоб два раза не вставать. Исходную задачу (сравнение с 1/4) можно решить с помощью тождества, выведенного на основе идей Хайдара Н. и анонимного комментатора:



Ниже еще одно тождество, оно реализует идею rus4:

Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 7 comments